Pertidaksamaan
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka:
a + c < b + c
a – c < b – c
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali
atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
a.c < b.c
a/b < b/c
tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas
pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
a.c > b.c
a/c > b/c
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif
masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
Pertidaksamaan Linear
→ Variabelnya
berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri,
dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Variabelnya
berpangkat 2
Penyelesaian:
Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai
faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥
atau ≤, maka harga nol ditandai
dengan titik hitam •
Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol
ditandai dengan titik putih °
Tentukan tanda (+) atau (–)
pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan
salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada
batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk
pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda
pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah
yang bertanda (+)
→ jika
tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang
diarsir adalah yang bertanda (–)
Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x –
1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x –
3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥
0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x –
5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:
menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1
dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai
negatif
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
Pertidaksamaan Tingkat Tinggi
→ Variabel
berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 –
5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x –
2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x –
3 = 0
x = –1/2 atau x =
2 atau x = 3
Garis bilangan:
menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1/2
dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
karena –1/2 adalah
batas rangkap (–1/2 muncul
sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2
merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda
positif dan negatif berselang-seling
karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}
Pertidaksamaan Pecahan
→ ada
pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
Ruas kanan dijadikan nol
Samakan penyebut di ruas kiri
Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan
penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang
didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut
selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama
dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
Tentukan tanda (+) atau (–)
pada masing-masing interval
Contoh 1:
Harga nol pembilang: –5x
+ 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x –
3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3
digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}
Contoh 2:
Harga nol pembilang: x –
2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat
difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak
mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc
untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥
2}
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar
→ variabelnya
berada dalam tanda akar
Penyelesaian:
Kuadratkan kedua ruas
Jadikan ruas kanan sama dengan nol
Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan
linear/kuadrat
Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar
harus ≥ 0
Contoh 1:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x –
2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x –
6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x –
2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}
Contoh 2:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 <
x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 <
0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
Syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x –
4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
→ variabelnya
berada di dalam tanda mutlak | …..
|
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif,
contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:
Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a
< x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0
Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤
5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4
Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2
atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x
> –5/3
Contoh 3:
|2x – 5| < |x
+ 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x
+ 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x +
4).(2x – 5 – x –
4) < 0 (Ingat! a2 –
b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x –
1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}
Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x +
1).(4x – 3 – x –
1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x –
2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}
Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalkan |x –
2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1)
< 0
Harga nol: y –
2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:
Artinya:
–1 < y
< 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri
tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x
< 2 + 2
0 < x < 4
